Kann ich die Fläche allein aus dem Umfang bestimmen?

Nein, und genau davon handelt dieser Text. Ein Umfang von 12 lässt Flächen von 6,928 bis beliebig nahe null zu. Sie brauchen die drei Seiten einzeln oder eine Grundseite mit Höhe.

Warum schlägt meine Rechnung für 3, 4 und 8 fehl?

Weil sich diese Längen nicht zu einem Dreieck schließen lassen. Zwei Seiten müssen die dritte stets übertreffen, und 3 + 4 = 7 ist kleiner als 8. Physisch ausgelegt reichen die kurzen Seiten nicht zueinander, und Herons Formel meldet das als negativen Wert unter der Wurzel.

Dreieck-Rechner

Dreieck

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks.

Leitfaden zum Dreieck

Das Dreieck ist eines der grundlegenden Vielecke der Geometrie, bestimmt durch drei Seiten und drei Innenwinkel.Die Summe der Innenwinkel beträgt in jedem Dreieck stets 180 Grad. Dreiecke lassen sich unterschiedlich einteilen: nach Seitenlängen (gleichseitig, gleichschenklig, ungleichseitig) oder nach Winkelgrößen (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig).

Die Fläche eines Dreiecks berechnet man, indem man Grundseite mal Höhe nimmt und durch zwei teilt.Die Formel A = (a × h) / 2 wird in der Praxis am häufigsten verwendet.Die Höhe ist der Abstand vom gegenüberliegenden Eckpunkt zur Grundseite, rechtwinklig zu dieser gemessen.Im gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang, und die Höhe lässt sich als h = (a√3) / 2 berechnen.

The Pythagorean theorem applies to right triangles.Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Quadrat der Hypotenuse: a² + b² = c².Es ist einer der wichtigsten Sätze der Geometrie und findet Anwendung im Bauwesen, in der Navigation,in der Physik und vielen weiteren Bereichen. Die Katheten sind die dem rechten Winkel anliegenden Seiten,und die Hypotenuse ist die längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.

Types of triangles. An equilateral triangle has three equal sides and three 60-degree angles.Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten (Schenkel) und zwei gleiche Winkel an diesen Seiten.Ein ungleichseitiges Dreieck hat drei unterschiedlich lange Seiten.Ein spitzwinkliges Dreieck hat lauter Winkel unter 90 Grad,ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von genau 90 Grad,und ein stumpfwinkliges Dreieck hat einen Winkel über 90 Grad.

Dieselben 12 cm Umfang können 6,93 cm² oder 0,59 cm² einschließen

Der Umfang bestimmt die Fläche nicht. Drei Seiten mit der Summe 12 können fast sieben Quadratzentimeter einschließen oder fast nichts — allein abhängig davon, wie gleichmäßig die Länge verteilt ist. Das gleichseitige Dreieck ist das Maximum, und jeder Schritt davon weg kostet Fläche: erst schnell, dann dramatisch.

So wird gerechnet

Ermittelt die Fläche aus drei Seiten mit der Formel von Heron, ganz ohne Höhe.
Prüft zuerst die Dreiecksungleichung, da drei beliebige Längen oft überhaupt kein Dreieck bilden.
Behandelt auch den Fall aus Grundseite und Höhe, der bequemer ist, wenn beides vorliegt.

Heron:  s = (a + b + c) ÷ 2
        Fläche = √(s(s−a)(s−b)(s−c))

Grundseite und Höhe:  Fläche = ½ × Grundseite × Höhe

Dreiecksungleichung: jede Seite muss kürzer sein als die beiden anderen zusammen
sonst existiert kein Dreieck und Heron liefert einen negativen Wert unter der Wurzel

Rechenbeispiel

Fünf Dreiecke, alle mit einem Umfang von genau 12.

4, 4, 4 → Fläche 6,928 (gleichseitig, das Maximum)
3, 4, 5 → Fläche 6,000 (rechtwinklig)
5, 5, 2 → Fläche 4,899
5,5, 5,5, 1 → Fläche 2,739
5,9, 5,9, 0,2 → Fläche 0,590

Durchweg identischer Umfang, und die Fläche fällt vom ersten zum letzten um mehr als 90%. Nähert sich eine Seite der Null, flacht das Dreieck zur Strecke ab, und die eingeschlossene Fläche verschwindet mit ihr.

Das Ergebnis lesen

Dass der gleichseitige Fall das Maximum ist, ist ein allgemeines Resultat und kein Zufall dieser Zahlen. Bei festem Umfang schließt die gleichmäßigste Aufteilung der Länge die größte Fläche ein — dasselbe Prinzip, das den Kreis zur besten Form überhaupt macht.
Die Formel von Heron lohnt sich, weil sie weder Winkel noch Höhe braucht. Drei Maßbandwerte genügen, weshalb sie sich in Vermessung und Bau hält, wo das Messen einer Senkrechten unhandlich ist.
Die Dreiecksungleichung ist eine echte Bedingung, keine Formalität. Seiten von 3, 4 und 8 bilden kein Dreieck, weil 3 + 4 kleiner ist als 8, und Heron zeigt das durch einen negativen Wert unter der Wurzel an.
Fast entartete Dreiecke sind numerisch instabil. Nähert sich eine Seite der Summe der beiden anderen, lassen kleine Messfehler die berechnete Fläche stark schwanken; behandeln Sie die Fläche eines sehr dünnen Dreiecks daher als Näherung, wie viele Nachkommastellen auch erscheinen.

Häufige Fragen

Kann ich die Fläche allein aus dem Umfang bestimmen?: Nein, und genau davon handelt dieser Text. Ein Umfang von 12 lässt Flächen von 6,928 bis beliebig nahe null zu. Sie brauchen die drei Seiten einzeln oder eine Grundseite mit Höhe.
Warum schlägt meine Rechnung für 3, 4 und 8 fehl?: Weil sich diese Längen nicht zu einem Dreieck schließen lassen. Zwei Seiten müssen die dritte stets übertreffen, und 3 + 4 = 7 ist kleiner als 8. Physisch ausgelegt reichen die kurzen Seiten nicht zueinander, und Herons Formel meldet das als negativen Wert unter der Wurzel.