Wann treffen zwei wiederkehrende Ereignisse das nächste Mal zusammen?

Nach dem kgV ihrer Intervalle, gezählt ab dem letzten gemeinsamen Auftreten. Zwölf- und Achtzehn-Minuten-Zyklen treffen sich alle sechsunddreißig Minuten; sind sie nie zusammengefallen, treffen sie sich beim ersten gemeinsamen Vielfachen nach dem Start beider.

Warum lässt ein gemeinsamer Teiler die Dinge früher zusammenfallen?

Weil der gemeinsame Teiler schon gemeinsamer Boden ist. kgV = a × b ÷ ggT, ein größerer ggT teilt das Produkt also stärker herunter. 12 und 18 teilen 6, was 216 auf 36 kürzt; 7 und 11 teilen nichts, also wird nichts gekürzt.

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Leitfaden: kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

What is LCM?

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste positive ganze Zahl, die durch zwei oder mehr ganze Zahlen teilbar ist. Zum Beispiel ist kgV(12, 18) = 36, denn 36 ist die kleinste Zahl, die sowohl durch 12 als auch durch 18 restlos teilbar ist. Das kgV ist besonders beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern nützlich.

How to calculate LCM?

Am einfachsten nutzt man die Beziehung kgV(a, b) = (a * b) / ggT(a, b). Man multipliziert die Zahlen und teilt anschließend durch ihren ggT. Beispiel: kgV(12, 18) = (12 * 18) / ggT(12, 18) = 216 / 6 = 36. Diese Formel ist schnell und für beliebige ganze Zahlen effizient.

Properties of LCM

kgV(a, b) * ggT(a, b) = a * b (das Produkt aus kgV und ggT entspricht dem Produkt der Zahlen). kgV(a, b) ist stets ein Vielfaches beider Zahlen a und b. kgV(a, b) ist stets größer oder gleich jeder der beiden Zahlen. Teilt a die Zahl b, so gilt kgV(a, b) = b.

Practical Applications

Das kgV ist beim Addieren von Brüchen unverzichtbar: Zuerst bestimmt man das kgV der Nenner, um sie gleichnamig zu machen. Bei der Terminplanung gibt das kgV an, wann zwei zyklische Ereignisse gleichzeitig eintreten. In der Kryptografie wird es bei der Erzeugung von RSA-Schlüsseln verwendet. In der Informatik dient es zur Synchronisation von Prozessen und zur Bestimmung gemeinsamer Zeitintervalle.

Busse alle 7 und alle 11 Minuten treffen sich am seltensten

Das kleinste gemeinsame Vielfache beantwortet eine Frage, auf die man ständig trifft, ohne sie zu benennen: Wann geschehen zwei wiederkehrende Dinge gemeinsam? Zwei Intervalle mit gemeinsamem Teiler treffen sich schnell; zwei ohne gemeinsamen Teiler erst nach ihrem Produkt. Sieben und elf Minuten treffen sich alle siebenundsiebzig — der schlechteste Fall überhaupt.

So wird gerechnet

Findet das kleinste gemeinsame Vielfache zweier oder mehrerer Zahlen.
Beantwortet die Wiederholungsfrage direkt: wie lange bis zwei Zyklen wieder zusammenfallen.
Nutzt den größten gemeinsamen Teiler, da beide Größen durch eine exakte Identität verbunden sind.

kgV(a, b) = a × b ÷ ggT(a, b)

und folglich  ggT(a, b) × kgV(a, b) = a × b

ist ggT = 1, sind die Zahlen teilerfremd und das kgV ist das volle Produkt

Rechenbeispiel

Zwei Linien mit unterschiedlichen Takten und wie oft sie zusammentreffen.

alle 12 und 18 Minuten → gemeinsam alle 36 (ggT 6)
alle 15 und 20 Minuten → gemeinsam alle 60 (ggT 5)
alle 10 und 12 Minuten → gemeinsam alle 60 (ggT 2)
alle 7 und 11 Minuten → gemeinsam alle 77 (ggT 1)

Je mehr die Intervalle teilen, desto früher fallen sie zusammen. 12 und 18 teilen den Faktor 6 und treffen sich alle 36 Minuten; 7 und 11 teilen nichts und treffen sich erst alle 77 — nach dem Produkt selbst.

Das Ergebnis lesen

Die Identität ggT × kgV = a × b lohnt das Erinnern, weil sie aus der einen Größe die andere leicht macht. Bei 12 und 18 ist das Produkt 216 und der ggT 6, das kgV muss also ohne weitere Rechnung 36 sein.
Teilerfremde Zahlen sind der schlechteste Fall für Koinzidenz und der beste für gleichmäßige Abdeckung. Deshalb werden Zähnezahlen von Zahnrädern oft teilerfremd gewählt: dasselbe Zahnpaar trifft sich dann so selten wie möglich und verteilt den Verschleiß gleichmäßig.
Zwei Räder mit 12 und 18 Zähnen kehren nach 36 Zahneingriffen in die Ausgangsstellung zurück, also nach 3 Umdrehungen des kleinen und 2 des großen. Das kgV liefert die Zykluslänge, die Division den Anteil jedes Rades daran.
Der ggT ist die andere Hälfte desselben Werkzeugs und kürzt Brüche. 84/126 teilt den Teiler 42, kürzt sich also in einem Schritt zu 2/3 — der ggT ist genau die Grenze, bis zu der ein Bruch vereinfachbar ist.

Häufige Fragen

Wann treffen zwei wiederkehrende Ereignisse das nächste Mal zusammen?: Nach dem kgV ihrer Intervalle, gezählt ab dem letzten gemeinsamen Auftreten. Zwölf- und Achtzehn-Minuten-Zyklen treffen sich alle sechsunddreißig Minuten; sind sie nie zusammengefallen, treffen sie sich beim ersten gemeinsamen Vielfachen nach dem Start beider.
Warum lässt ein gemeinsamer Teiler die Dinge früher zusammenfallen?: Weil der gemeinsame Teiler schon gemeinsamer Boden ist. kgV = a × b ÷ ggT, ein größerer ggT teilt das Produkt also stärker herunter. 12 und 18 teilen 6, was 216 auf 36 kürzt; 7 und 11 teilen nichts, also wird nichts gekürzt.