Kombinationen und Permutationen
Berechnen Sie nCr und nPr — auf wie viele Arten sich r aus n wählen lassen, mit und ohne Reihenfolge.
C(n, r) = n! / (r! x (n - r)!) P(n, r) = n! / (n - r)! P(52, 5) = C(52, 5) x 5!
n! = 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000
Kombinationen und Permutationen: der einzige Unterschied ist die Reihenfolge
Beide beantworten „auf wie viele Arten kann ich r aus n wählen?“ und unterscheiden sich um genau einen Faktor: r!. Zählt die Reihenfolge der Auswahl, brauchen Sie Permutationen; zählt sie nicht, Kombinationen — die kleinere Zahl, weil jede Anordnung derselben Gruppe zu einer zusammenfällt.
So wird gerechnet
- Berechnet nCr und nPr exakt, auch weit jenseits dessen, was ein gewöhnlicher Zahlentyp fasst.
- Zeigt die Fakultäten hinter dem Ergebnis, sodass die Formel nachprüfbar bleibt.
- Enthält Vorgaben für die zwei Fälle, mit denen Leute tatsächlich kommen: Lottoziehungen und Kartenblätter.
C(n, r) = n! / (r! x (n - r)!) P(n, r) = n! / (n - r)! P(n, r) = C(n, r) x r! geordnete Anordnungen = ungeordnete Gruppen x Anordnungen je Gruppe
Rechenbeispiel
Fünfkartige Pokerblätter aus einem 52-Karten-Deck.
- n = 52, r = 5
- P(52,5) = 52 x 51 x 50 x 49 x 48 = 311,875,200
- 5! = 120
- C(52,5) = 311,875,200 / 120 = 2,598,960
2.598.960 verschiedene Blätter. Die Permutationszahl ist 120-mal größer, weil sie dieselben fünf Karten in jeder der 5! = 120 Reihenfolgen als verschiedene Ergebnisse zählt — was bei einem Zahlenschloss zählt und beim Pokerblatt nicht.
Das Ergebnis lesen
- nCr ist symmetrisch: 5 aus 52 zu wählen ergibt dieselbe Zahl wie 47 zu wählen, denn eine Gruppe auszuwählen ist derselbe Akt wie alle Übrigen auszuwählen. Das Werkzeug nutzt das und läuft stets über die kleinere der beiden Zahlen.
- Ergebnisse werden als exakte ganze Zahlen berechnet, nicht in Gleitkomma. Schon 21! übersteigt, was ein Double exakt darstellt, und 100C50 hat 30 Stellen — ein Rechner mit gewöhnlichen Zahlen liefert lange vorher Näherungen und sagt es selten.
- Die wörtliche Rechnung n!/(r!(n−r)!) läuft fast sofort über. Hier wird bei jedem Schritt dividiert, sodass der Zwischenwert nie größer wird als das Ergebnis selbst.
Häufige Fragen
- Was brauche ich fürs Lotto?
- Kombinationen. Eine Ziehung 6 aus 49 kümmert sich nicht um die Reihenfolge der Kugeln, also C(49,6) = 13.983.816. So viele verschiedene Tippreihen gibt es, und eins zu so viel ist Ihre Chance mit einer Reihe.
- Warum ist nPr immer größer?
- Weil jede ungeordnete Gruppe r!-mal gezählt wird, einmal je Anordnung. Bei r = 5 sind das 120 Anordnungen derselben fünf Elemente, die Permutationszahl ist also genau das 120-Fache der Kombinationszahl.