Combinaisons et permutations
Calculez nCr et nPr — combien de façons de choisir r éléments parmi n, avec et sans ordre.
C(n, r) = n! / (r! x (n - r)!) P(n, r) = n! / (n - r)! P(52, 5) = C(52, 5) x 5!
n! = 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000
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Combinaisons et permutations : la seule différence est l'ordre
Les deux répondent à « de combien de façons choisir r éléments parmi n ? » et diffèrent d'exactement un facteur : r!. Si l'ordre des choix compte, ce sont les permutations ; sinon les combinaisons, plus petites, car chaque ordre du même groupe se ramène à un seul.
Comment ça marche
- Calcule nCr et nPr exactement, y compris bien au-delà de ce qu'un type numérique ordinaire contient.
- Affiche les factorielles derrière le résultat, pour que la formule reste vérifiable.
- Propose des exemples pour les deux cas réels : tirages de loterie et mains de cartes.
C(n, r) = n! / (r! x (n - r)!) P(n, r) = n! / (n - r)! P(n, r) = C(n, r) x r! arrangements ordonnés = groupes non ordonnés x façons d'ordonner chacun
Exemple chiffré
Mains de cinq cartes dans un jeu de 52.
- n = 52, r = 5
- P(52,5) = 52 x 51 x 50 x 49 x 48 = 311,875,200
- 5! = 120
- C(52,5) = 311,875,200 / 120 = 2,598,960
2 598 960 mains distinctes. Le nombre de permutations est 120 fois plus grand car il compte les mêmes cinq cartes distribuées dans chacun des 5! = 120 ordres comme des résultats différents — ce qui importe pour un cadenas à code, pas pour une main de poker.
Lire le résultat
- nCr est symétrique : choisir 5 parmi 52 donne le même compte que choisir 47, car désigner un groupe revient à désigner tous les exclus. L'outil s'en sert et boucle toujours sur le plus petit des deux.
- Les résultats sont des entiers exacts, pas du flottant. 21! dépasse déjà ce qu'un double représente exactement, et 100C50 compte 30 chiffres — une calculatrice en nombres ordinaires renvoie des approximations bien avant, et le dit rarement.
- Calculer littéralement n!/(r!(n−r)!) déborde presque aussitôt. Ici la division intervient à chaque étape, si bien que la valeur courante ne dépasse jamais le résultat lui-même.
Questions fréquentes
- Que prendre pour une loterie ?
- Les combinaisons. Un tirage de 6 parmi 49 ignore l'ordre de sortie des boules : c'est C(49,6) = 13 983 816. C'est le nombre de grilles distinctes, et une sur autant est votre chance avec une seule grille.
- Pourquoi nPr est-il toujours plus grand ?
- Parce que chaque groupe non ordonné est compté r! fois, une par arrangement. Avec r = 5, cela fait 120 ordres des mêmes cinq éléments : le nombre de permutations vaut exactement 120 fois celui des combinaisons.