Que prendre pour une loterie ?

Les combinaisons. Un tirage de 6 parmi 49 ignore l'ordre de sortie des boules : c'est C(49,6) = 13 983 816. C'est le nombre de grilles distinctes, et une sur autant est votre chance avec une seule grille.

Pourquoi nPr est-il toujours plus grand ?

Parce que chaque groupe non ordonné est compté r! fois, une par arrangement. Avec r = 5, cela fait 120 ordres des mêmes cinq éléments : le nombre de permutations vaut exactement 120 fois celui des combinaisons.

Calculateur de combinaisons et permutations – nCr et nPr

Combinaisons et permutations

Calculez nCr et nPr — combien de façons de choisir r éléments parmi n, avec et sans ordre.

n — éléments disponibles

r — éléments choisis

Combinaisons — l'ordre n'importe pas

C(52, 5)

2 598 960

Permutations — l'ordre compte

P(52, 5)

311 875 200

C(n, r) = n! / (r! x (n - r)!)
P(n, r) = n! / (n - r)!

P(52, 5) = C(52, 5) x 5!

n! = 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000

Combinaisons et permutations : la seule différence est l'ordre

Les deux répondent à « de combien de façons choisir r éléments parmi n ? » et diffèrent d'exactement un facteur : r!. Si l'ordre des choix compte, ce sont les permutations ; sinon les combinaisons, plus petites, car chaque ordre du même groupe se ramène à un seul.

Comment ça marche

Calcule nCr et nPr exactement, y compris bien au-delà de ce qu'un type numérique ordinaire contient.
Affiche les factorielles derrière le résultat, pour que la formule reste vérifiable.
Propose des exemples pour les deux cas réels : tirages de loterie et mains de cartes.

C(n, r) = n! / (r! x (n - r)!)      
P(n, r) = n! / (n - r)!              

P(n, r) = C(n, r) x r!

arrangements ordonnés = groupes non ordonnés x façons d'ordonner chacun

Exemple chiffré

Mains de cinq cartes dans un jeu de 52.

n = 52, r = 5
P(52,5) = 52 x 51 x 50 x 49 x 48 = 311,875,200
5! = 120
C(52,5) = 311,875,200 / 120 = 2,598,960

2 598 960 mains distinctes. Le nombre de permutations est 120 fois plus grand car il compte les mêmes cinq cartes distribuées dans chacun des 5! = 120 ordres comme des résultats différents — ce qui importe pour un cadenas à code, pas pour une main de poker.

Lire le résultat

nCr est symétrique : choisir 5 parmi 52 donne le même compte que choisir 47, car désigner un groupe revient à désigner tous les exclus. L'outil s'en sert et boucle toujours sur le plus petit des deux.
Les résultats sont des entiers exacts, pas du flottant. 21! dépasse déjà ce qu'un double représente exactement, et 100C50 compte 30 chiffres — une calculatrice en nombres ordinaires renvoie des approximations bien avant, et le dit rarement.
Calculer littéralement n!/(r!(n−r)!) déborde presque aussitôt. Ici la division intervient à chaque étape, si bien que la valeur courante ne dépasse jamais le résultat lui-même.

Questions fréquentes

Que prendre pour une loterie ?: Les combinaisons. Un tirage de 6 parmi 49 ignore l'ordre de sortie des boules : c'est C(49,6) = 13 983 816. C'est le nombre de grilles distinctes, et une sur autant est votre chance avec une seule grille.
Pourquoi nPr est-il toujours plus grand ?: Parce que chaque groupe non ordonné est compté r! fois, une par arrangement. Avec r = 5, cela fait 120 ordres des mêmes cinq éléments : le nombre de permutations vaut exactement 120 fois celui des combinaisons.