Combinazioni e permutazioni
Calcola nCr e nPr — in quanti modi scegliere r elementi da n, con e senza ordine.
C(n, r) = n! / (r! x (n - r)!) P(n, r) = n! / (n - r)! P(52, 5) = C(52, 5) x 5!
n! = 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000
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Combinazioni e permutazioni: l'unica differenza è se conta l'ordine
Entrambe rispondono a «in quanti modi posso scegliere r cose da n?» e differiscono per esattamente un fattore: r!. Se l'ordine delle scelte conta servono le permutazioni; se non conta, le combinazioni, che sono meno perché ogni ordinamento dello stesso gruppo collassa in uno.
Come funziona
- Calcola nCr e nPr in modo esatto, anche ben oltre ciò che un normale tipo numerico contiene.
- Mostra i fattoriali dietro il risultato, così la formula resta verificabile.
- Include preset per i due casi con cui le persone arrivano davvero: estrazioni del lotto e mani di carte.
C(n, r) = n! / (r! x (n - r)!) P(n, r) = n! / (n - r)! P(n, r) = C(n, r) x r! disposizioni ordinate = gruppi non ordinati x modi di ordinare ciascuno
Esempio pratico
Mani di cinque carte da un mazzo di 52.
- n = 52, r = 5
- P(52,5) = 52 x 51 x 50 x 49 x 48 = 311,875,200
- 5! = 120
- C(52,5) = 311,875,200 / 120 = 2,598,960
2.598.960 mani distinte. Il numero di permutazioni è 120 volte maggiore perché conta le stesse cinque carte distribuite in ciascuno dei 5! = 120 ordini come esiti diversi — cosa che conta per un lucchetto a combinazione e non per una mano di poker.
Come leggere il risultato
- nCr è simmetrico: scegliere 5 su 52 dà lo stesso conteggio di scegliere 47, perché indicare un gruppo è lo stesso atto che indicare tutti gli esclusi. Lo strumento se ne avvale e cicla sempre sul minore dei due.
- I risultati sono calcolati come interi esatti, non in virgola mobile. Già 21! supera ciò che un double rappresenta esattamente, e 100C50 ha 30 cifre: un calcolatore con numeri ordinari restituisce approssimazioni molto prima e raramente lo dichiara.
- Calcolare letteralmente n!/(r!(n−r)!) va in overflow quasi subito. Qui si divide a ogni passo, così il valore corrente non cresce mai oltre il risultato stesso.
Domande frequenti
- Quale serve per il lotto?
- Le combinazioni. Un'estrazione di 6 su 49 non guarda all'ordine di uscita delle palline, quindi è C(49,6) = 13.983.816. Sono le schedine distinte, e una su tante è la probabilità con una sola giocata.
- Perché nPr è sempre maggiore?
- Perché ogni gruppo non ordinato viene contato r! volte, una per ciascun modo di disporlo. Con r = 5 sono 120 ordinamenti degli stessi cinque elementi, quindi le permutazioni sono esattamente 120 volte le combinazioni.