Calculadora de combinaciones

Combinaciones y permutaciones: la única diferencia es si cuenta el orden

Ambas responden a «¿de cuántas formas puedo elegir r cosas de n?» y se diferencian en exactamente un factor: r!. Si el orden de las elecciones importa quieres permutaciones; si no, combinaciones, que son menos porque cada ordenación del mismo grupo se colapsa en una.

Cómo funciona

• Calcula nCr y nPr de forma exacta, incluso muy por encima de lo que admite un tipo numérico normal.
• Muestra los factoriales tras el resultado, de modo que la fórmula se pueda comprobar.
• Incluye ejemplos para los dos casos con los que la gente llega: sorteos de lotería y manos de cartas.

C(n, r) = n! / (r! x (n - r)!)      
P(n, r) = n! / (n - r)!              

P(n, r) = C(n, r) x r!

ordenaciones = grupos sin orden x formas de ordenar cada grupo

Ejemplo resuelto

Manos de cinco cartas de una baraja de 52.

1. n = 52, r = 5
2. P(52,5) = 52 x 51 x 50 x 49 x 48 = 311,875,200
3. 5! = 120
4. C(52,5) = 311,875,200 / 120 = 2,598,960

2.598.960 manos distintas. El número de permutaciones es 120 veces mayor porque cuenta las mismas cinco cartas repartidas en cada uno de los 5! = 120 órdenes como resultados distintos, lo cual importa en un candado de combinación y no en una mano de póquer.

Cómo leer el resultado

• nCr es simétrico: elegir 5 de 52 da el mismo recuento que elegir 47, porque señalar un grupo es el mismo acto que señalar a todos los excluidos. La herramienta lo aprovecha y recorre siempre el menor de los dos.
• Los resultados se calculan como enteros exactos, no en coma flotante. Ya 21! supera lo que un double representa con exactitud, y 100C50 tiene 30 dígitos: una calculadora con números normales devuelve aproximaciones mucho antes y rara vez lo advierte.
• Calcular literalmente n!/(r!(n−r)!) se desborda casi de inmediato. Aquí se divide en cada paso, así que el valor en curso nunca crece por encima del propio resultado.

Preguntas frecuentes

¿Cuál necesito para la lotería?

Combinaciones. Un sorteo de 6 entre 49 no atiende al orden de salida de las bolas, así que es C(49,6) = 13.983.816. Ese es el número de boletos distintos, y uno entre tantos es tu probabilidad con una sola apuesta.

¿Por qué nPr siempre es mayor?

Porque cada grupo sin orden se cuenta r! veces, una por cada forma de ordenarlo. Con r = 5 son 120 ordenaciones de los mismos cinco elementos, así que las permutaciones son exactamente 120 veces las combinaciones.