Kalkulator kombinacji

Kombinacje i permutacje: różni je tylko to, czy liczy się kolejność

Oba odpowiadają na pytanie „na ile sposobów wybrać r rzeczy z n?” i różnią się dokładnie jednym czynnikiem: r!. Jeśli kolejność wyborów ma znaczenie, potrzebujesz permutacji; jeśli nie — kombinacji, których jest mniej, bo każde uporządkowanie tej samej grupy zlewa się w jedno.

Jak to działa

• Liczy nCr i nPr dokładnie, także dla wartości daleko poza zasięgiem zwykłego typu liczbowego.
• Pokazuje silnie stojące za wynikiem, więc wzór da się sprawdzić, a nie tylko przyjąć.
• Zawiera gotowe przykłady dla dwóch sytuacji, z którymi ludzie naprawdę przychodzą: losowań lotto i układów kart.

C(n, r) = n! / (r! x (n - r)!)      
P(n, r) = n! / (n - r)!              

P(n, r) = C(n, r) x r!

uporządkowane układy = nieuporządkowane grupy x liczba sposobów uporządkowania każdej

Przykład z liczbami

Pięciokartowe układy pokerowe z talii 52 kart.

1. n = 52, r = 5
2. P(52,5) = 52 x 51 x 50 x 49 x 48 = 311,875,200
3. 5! = 120
4. C(52,5) = 311,875,200 / 120 = 2,598,960

2 598 960 różnych układów. Liczba permutacji jest 120 razy większa, bo liczy te same pięć kart rozdane w każdej z 5! = 120 kolejności jako osobne wyniki — co ma znaczenie przy zamku szyfrowym, a nie ma przy układzie pokerowym.

Jak czytać wynik

• nCr jest symetryczne: wybór 5 z 52 daje tyle samo co wybór 47, bo wskazanie grupy to ten sam akt co wskazanie wszystkich pominiętych. To narzędzie z tego korzysta, zawsze przechodząc po mniejszej z dwóch liczb, żeby rachunki pozostały tanie.
• Wyniki liczone są jako dokładne liczby całkowite, nie zmiennoprzecinkowo. Już 21! przekracza to, co typ double zapisze dokładnie, a 100C50 ma 30 cyfr — kalkulator na zwykłych liczbach zaczyna zwracać przybliżenia dużo wcześniej i rzadko o tym mówi.
• Dosłowne liczenie n!/(r!(n−r)!) niemal natychmiast się przepełnia. Tutaj dzielenie następuje na każdym kroku, więc bieżąca wartość nigdy nie rośnie ponad sam wynik.

Częste pytania

Czego użyć do lotto?

Kombinacji. Losowanie 6 z 49 nie zważa na kolejność wyciągania kul, więc to C(49,6) = 13 983 816. Tyle jest różnych kuponów i jeden do tylu wynosi szansa przy jednym zakładzie.

Dlaczego nPr jest zawsze większe?

Bo każda nieuporządkowana grupa jest liczona r! razy, raz dla każdego sposobu jej ułożenia. Przy r = 5 to 120 uporządkowań tych samych pięciu elementów, więc permutacji jest dokładnie 120 razy więcej niż kombinacji.