Ist eine große Pizza günstiger als zwei mittlere?

Hier nicht. Zwei 30-cm-Pizzen ergeben 1414 cm² gegenüber 1257 cm² bei einer einzelnen 40er — 11% mehr Essen. Ob das günstiger ist, hängt von den Preisen ab, die Fläche allein spricht für die zwei.

Warum hebt ein Meter Seil es auf jeder Kugel gleich weit an?

Weil der Anstieg der zusätzliche Umfang geteilt durch 2π ist und der ursprüngliche Radius in dieser Division gar nicht vorkommt. Ein Meter ergibt stets 15,92 cm Abstand — Erde und Tennisball verhalten sich identisch.

Kreis-Rechner

Kreis

Berechnen Sie Fläche, Umfang und Durchmesser eines Kreises.

Leitfaden zum Kreis

A circle is one of the fundamental geometric shapes, defined as the set of all points in a plane at equal distance from the center.Dieser Abstand ist der Radius (r), und der Durchmesser (d) ist doppelt so groß wie der Radius. Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse, bei dem alle Achsen gleich lang sind.

The number Pi (π) is the ratio of a circle's circumference to its diameter.Es handelt sich um eine mathematische Konstante mit dem Näherungswert 3,14159, deren Dezimaldarstellung nie endet und sich nie wiederholt. Pi ist irrational, lässt sich also nicht exakt als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Sie wird bei allen Berechnungen rund um Kreise und Umfänge verwendet.

The circumference of a circle is calculated using the formula 2πr or πd.Der Radius (r) ist der Abstand vom Kreismittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreisumfang. Der Durchmesser (d) verläuft durch den Mittelpunkt und verbindet zwei gegenüberliegende Punkte des Umfangs. Kennt man einen dieser Werte, lassen sich die übrigen leicht berechnen.

The area of a circle is calculated using the formula πr².Das ist die vom Kreisumfang eingeschlossene Fläche.Für einen Kreis mit dem Radius 10 Einheiten beträgt die Fläche π × 10² = 100π ≈ 314,16 Quadrateinheiten.Die Fläche lässt sich auch über den Durchmesser ausdrücken: A = (πd²) / 4.

Practical applications.Kreisformeln werden in Technik, Architektur, Physik und vielen weiteren Wissenschaften breit eingesetzt: vom Entwurf von Autorädern über die Berechnung von Fensterflächen bis zur Bestimmung von Satellitenbahnen – überall dort, wo runde Formen vorkommen.

Ein Meter Seil mehr um die Erde hebt es um 16 cm

Kreise verhalten sich so, wie die Intuition es beständig falsch einschätzt, denn die Fläche wächst mit dem Quadrat des Radius, der Umfang dagegen nur proportional dazu. Fügt man einem Seil um den Erdäquator einen einzigen Meter hinzu, hebt es sich fast 16 cm vom Boden — und es hebt sich um genau denselben Betrag, wenn man es stattdessen um einen Tennisball legt.

So wird gerechnet

Berechnet Fläche, Umfang und Durchmesser aus jeder einzelnen dieser Größen.
Macht die quadratische Beziehung sichtbar, die Größenvergleiche irreführend macht.
Rechnet aus Radius oder Durchmesser, da reale Messungen in beiden Formen vorkommen.

Fläche = π × r²
Umfang = 2 × π × r = π × d

Radius aus Fläche:  r = √(Fläche ÷ π)
Radius aus Umfang:  r = Umfang ÷ (2π)

Rechenbeispiel

Pizzagrößen im Vergleich: beworben wird der Durchmesser, gegessen wird die Fläche.

30 cm Durchmesser → 707 cm² Pizza
40 cm Durchmesser → 1257 cm², also 78% mehr bei 33% mehr Durchmesser
zwei mal 30 cm → zusammen 1414 cm²
zwei 30er schlagen eine 40er also um 11%

Ein Drittel mehr Durchmesser bringt fast vier Fünftel mehr Pizza — dennoch fassen zwei mittlere 11% mehr als eine große, das Gegenteil dessen, was die Preisgestaltung meist unterstellt.

Das Ergebnis lesen

Verdoppelter Radius vervierfacht die Fläche, und diese eine Tatsache erklärt den größten Teil der Überraschung. Sie gilt für Rohre, Kabel, Tankböden und Bohrlöcher gleichermaßen: ein Rohr mit doppeltem Durchmesser hat die vierfache Strömungsfläche.
Der Seiltrick funktioniert, weil die Zusatzlänge durch 2π geteilt wird und durch nichts sonst. Ein Meter mehr Umfang hebt jeden Kreis um 1 ÷ 2π = 15,92 cm, ob der Ausgangskreis der Erdäquator ist oder eine Münze — der Anfangsradius kürzt sich vollständig heraus.
Der Umfang skaliert linear, die Fläche quadratisch. Was also nach Durchmesser bepreist und nach Fläche verbraucht wird, belohnt die größere Ausführung. Was nach Fläche bepreist und durch die Kante begrenzt wird — ein Zaun, eine Randfliese, eine Felge —, belohnt das Gegenteil.
π ist irrational, jede Kreisantwort ist also eine Näherung. Drei Nachkommastellen gehen über das hinaus, was ein Maßband rechtfertigt; mehr mitzuführen ist eine Genauigkeit, die die Eingabe nie besaß.

Häufige Fragen

Ist eine große Pizza günstiger als zwei mittlere?: Hier nicht. Zwei 30-cm-Pizzen ergeben 1414 cm² gegenüber 1257 cm² bei einer einzelnen 40er — 11% mehr Essen. Ob das günstiger ist, hängt von den Preisen ab, die Fläche allein spricht für die zwei.
Warum hebt ein Meter Seil es auf jeder Kugel gleich weit an?: Weil der Anstieg der zusätzliche Umfang geteilt durch 2π ist und der ursprüngliche Radius in dieser Division gar nicht vorkommt. Ein Meter ergibt stets 15,92 cm Abstand — Erde und Tennisball verhalten sich identisch.