Quadratische Gleichung-Rechner

Quadratische Gleichungen lösen — und was die Diskriminante zuerst verrät

Jede quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 löst dieselbe Formel. Vor ihrer Anwendung sagt die Diskriminante, wie viele reelle Lösungen es gibt — oft das Einzige, was man eigentlich wissen wollte.

So wird gerechnet

• Berechnet die Diskriminante b² − 4ac, um die Zahl der reellen Lösungen zu bestimmen.
• Wendet die Lösungsformel an und findet sie, sofern sie existieren.
• Gibt den Scheitelpunkt an, wo die Parabel umkehrt und damit Minimum oder Maximum liegt.

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Diskriminante Δ = b² − 4ac
  Δ > 0   zwei verschiedene reelle Lösungen
  Δ = 0   eine doppelte Lösung
  Δ < 0   keine reellen Lösungen (zwei komplexe)

Scheitelpunkt bei x = −b / 2a

Rechenbeispiel

Lösen von 3x² − 7x + 2 = 0 mit a = 3, b = −7, c = 2.

1. Δ = (−7)² − 4(3)(2) = 49 − 24 = 25
2. Δ > 0, und 25 ist eine Quadratzahl — also zwei glatte Lösungen zu erwarten
3. √25 = 5
4. x = (7 + 5) / 6 = 2
5. x = (7 − 5) / 6 = 1/3

Lösungen bei x = 2 und x = 1/3. Zur Probe einsetzen: 3(4) − 7(2) + 2 = 0 ✓ und 3(1/9) − 7(1/3) + 2 = 1/3 − 7/3 + 2 = 0 ✓.

Das Ergebnis lesen

• Prüfen Sie zuerst die Diskriminante. Ist sie negativ, gibt es keine reellen Lösungen und die Parabel schneidet die x-Achse nie — gut zu wissen, bevor man Mühe in die Formel steckt.
• Das Vorzeichen von b führt ständig in die Irre. In 3x² − 7x + 2 ist b = −7, also −b = +7. Die Einsetzung ausdrücklich hinzuschreiben statt sie im Kopf zu machen verhindert die meisten Vorzeichenfehler.
• Ist a = 0, liegt gar keine quadratische Gleichung vor, sondern die lineare bx + c = 0 mit der einzigen Lösung x = −c/b. Ein Rechner, der stillschweigend durch 2a teilt, erzeugte eine Division durch null.
• Faktorisieren ist schneller, wenn die Lösungen rational sind, aber nur die Formel funktioniert immer. Ist die Diskriminante keine Quadratzahl, ist eine Zerlegung über den ganzen Zahlen unmöglich und die Formel der einzige Weg.

Häufige Fragen

Was bedeutet eine negative Diskriminante?

Die Gleichung hat keine reellen Lösungen — die Parabel liegt vollständig über oder unter der x-Achse. Es gibt weiterhin zwei komplexe Lösungen mit √−1, die in Technik und Physik zählen, in Alltagsaufgaben aber selten.

Warum liegt der Scheitelpunkt bei −b/2a?

Beide Lösungen liegen symmetrisch zu diesem Punkt, weil die Formel dieselbe Wurzel zu −b/2a addiert und davon subtrahiert. Auch ohne reelle Lösungen kehrt die Parabel dort um — so findet man Maximum oder Minimum ohne Differentialrechnung.