Calculateur d'Equation Quadratique

Résoudre une équation du second degré, et ce que le discriminant dit d'abord

Toute équation du second degré ax² + bx + c = 0 se résout par la même formule. Avant de l'appliquer, le discriminant indique combien de solutions réelles existent — souvent la seule chose qu'on voulait vraiment savoir.

Comment ça marche

• Calcule le discriminant b² − 4ac pour déterminer le nombre de racines réelles.
• Applique la formule quadratique et les trouve lorsqu'elles existent.
• Donne le sommet, là où la parabole s'inverse et donc où se situe le minimum ou le maximum.

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

discriminant Δ = b² − 4ac
  Δ > 0   deux racines réelles distinctes
  Δ = 0   une racine double
  Δ < 0   aucune racine réelle (deux complexes)

sommet en x = −b / 2a

Exemple chiffré

Résoudre 3x² − 7x + 2 = 0, avec a = 3, b = −7, c = 2.

1. Δ = (−7)² − 4(3)(2) = 49 − 24 = 25
2. Δ > 0 et 25 est un carré parfait : on attend deux racines nettes
3. √25 = 5
4. x = (7 + 5) / 6 = 2
5. x = (7 − 5) / 6 = 1/3

Racines x = 2 et x = 1/3. Vérification par substitution : 3(4) − 7(2) + 2 = 0 ✓ et 3(1/9) − 7(1/3) + 2 = 1/3 − 7/3 + 2 = 0 ✓.

Lire le résultat

• Vérifiez le discriminant avant toute chose. S'il est négatif, il n'y a pas de racine réelle et la parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses — utile à savoir avant de se lancer dans la formule.
• Le signe de b piège en permanence. Dans 3x² − 7x + 2, b vaut −7, donc −b vaut +7. Écrire la substitution explicitement plutôt que de la faire de tête évite la plupart des erreurs de signe.
• Si a = 0, ce n'est plus une équation du second degré mais l'équation linéaire bx + c = 0, de solution unique x = −c/b. Un calculateur qui diviserait silencieusement par 2a produirait une division par zéro.
• La factorisation est plus rapide quand les racines sont rationnelles, mais seule la formule marche toujours. Si le discriminant n'est pas un carré parfait, la factorisation sur les entiers est impossible et la formule est la seule voie.

Questions fréquentes

Que signifie un discriminant négatif ?

L'équation n'a pas de solution réelle : la parabole est entièrement au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses. Il subsiste deux racines complexes faisant intervenir √−1, importantes en ingénierie et en physique, moins dans les problèmes courants.

Pourquoi le sommet est-il en −b/2a ?

Les deux racines sont symétriques par rapport à ce point, la formule ajoutant et retranchant la même racine carrée à −b/2a. Même sans racine réelle, la parabole s'y inverse : c'est ainsi qu'on trouve un maximum ou un minimum sans dérivation.