Che cosa significa un discriminante negativo?

L'equazione non ha soluzioni reali: la parabola sta interamente sopra o sotto l'asse x. Esistono comunque due radici complesse che coinvolgono √−1, rilevanti in ingegneria e fisica ma non nella maggior parte dei problemi quotidiani.

Perché il vertice si trova in −b/2a?

Le due radici sono simmetriche rispetto a quel punto, perché la formula somma e sottrae la stessa radice quadrata a −b/2a. Anche senza radici reali la parabola inverte lì, ed è così che si trova un massimo o un minimo senza calcolo differenziale.

Calcolatore di Equazione Quadratica

Equazione di secondo grado

Risolvi l'equazione ax² + bx + c = 0.

ax² + bx + c = 0

Inserisci il valore di «a» e gli altri coefficienti.

Risolvere un'equazione di secondo grado e cosa dice per primo il discriminante

Ogni equazione di secondo grado ax² + bx + c = 0 si risolve con la stessa formula. Prima di applicarla, il discriminante dice quante soluzioni reali esistono — spesso l'unica cosa che serviva davvero sapere.

Come funziona

Calcola il discriminante b² − 4ac per determinare quante radici reali ci sono.
Applica la formula risolutiva e le trova, quando esistono.
Riporta il vertice, dove la parabola inverte e quindi dove si trova il minimo o il massimo.

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

discriminante Δ = b² − 4ac
  Δ > 0   due radici reali distinte
  Δ = 0   una radice doppia
  Δ < 0   nessuna radice reale (due complesse)

vertice in x = −b / 2a

Esempio pratico

Risolvere 3x² − 7x + 2 = 0, con a = 3, b = −7, c = 2.

Δ = (−7)² − 4(3)(2) = 49 − 24 = 25
Δ > 0 e 25 è un quadrato perfetto, quindi ci si aspettano due radici pulite
√25 = 5
x = (7 + 5) / 6 = 2
x = (7 − 5) / 6 = 1/3

Radici x = 2 e x = 1/3. Verifica per sostituzione: 3(4) − 7(2) + 2 = 0 ✓ e 3(1/9) − 7(1/3) + 2 = 1/3 − 7/3 + 2 = 0 ✓.

Come leggere il risultato

Controlla il discriminante prima di ogni altra cosa. Se è negativo non ci sono radici reali e la parabola non incrocia mai l'asse x: utile saperlo prima di spendere fatica sulla formula.
Il segno di b inganna di continuo. In 3x² − 7x + 2, b vale −7, quindi −b vale +7. Scrivere la sostituzione per esteso invece di farla a mente evita gran parte degli errori di segno.
Se a = 0 non è affatto un'equazione di secondo grado, ma quella lineare bx + c = 0 con l'unica soluzione x = −c/b. Un calcolatore che dividesse in silenzio per 2a produrrebbe una divisione per zero.
La scomposizione è più rapida quando le radici sono razionali, ma solo la formula funziona sempre. Se il discriminante non è un quadrato perfetto, la scomposizione sugli interi è impossibile e resta la formula.

Domande frequenti

Che cosa significa un discriminante negativo?: L'equazione non ha soluzioni reali: la parabola sta interamente sopra o sotto l'asse x. Esistono comunque due radici complesse che coinvolgono √−1, rilevanti in ingegneria e fisica ma non nella maggior parte dei problemi quotidiani.
Perché il vertice si trova in −b/2a?: Le due radici sono simmetriche rispetto a quel punto, perché la formula somma e sottrae la stessa radice quadrata a −b/2a. Anche senza radici reali la parabola inverte lì, ed è così che si trova un massimo o un minimo senza calcolo differenziale.