Kalkulator Rownania Kwadratowego

Rozwiązywanie równania kwadratowego i co najpierw mówi wyróżnik

Każde równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0 rozwiązuje ten sam wzór. Zanim go zastosujesz, wyróżnik mówi, ile jest rozwiązań rzeczywistych — a często to jedyne, co naprawdę chciałeś wiedzieć.

Jak to działa

• Liczy wyróżnik b² − 4ac, żeby ustalić liczbę pierwiastków rzeczywistych.
• Stosuje wzór kwadratowy i znajduje je, jeśli istnieją.
• Podaje wierzchołek, czyli punkt zwrotu paraboli, a więc miejsce minimum albo maksimum.

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

wyróżnik Δ = b² − 4ac
  Δ > 0   dwa różne pierwiastki rzeczywiste
  Δ = 0   jeden pierwiastek podwójny
  Δ < 0   brak pierwiastków rzeczywistych (dwa zespolone)

wierzchołek w x = −b / 2a

Przykład z liczbami

Rozwiązanie 3x² − 7x + 2 = 0, gdzie a = 3, b = −7, c = 2.

1. Δ = (−7)² − 4(3)(2) = 49 − 24 = 25
2. Δ > 0, a 25 jest kwadratem liczby całkowitej, więc spodziewaj się dwóch ładnych pierwiastków
3. √25 = 5
4. x = (7 + 5) / 6 = 2
5. x = (7 − 5) / 6 = 1/3

Pierwiastki x = 2 oraz x = 1/3. Sprawdzenie przez podstawienie: 3(4) − 7(2) + 2 = 0 ✓ oraz 3(1/9) − 7(1/3) + 2 = 1/3 − 7/3 + 2 = 0 ✓.

Jak czytać wynik

• Najpierw sprawdź wyróżnik. Jeśli jest ujemny, nie ma pierwiastków rzeczywistych, a parabola nigdy nie przecina osi x — warto to wiedzieć, zanim włożysz wysiłek we wzór.
• Znak b myli ludzi bez przerwy. W 3x² − 7x + 2 mamy b = −7, więc −b = +7. Wypisanie podstawienia zamiast robienia go w pamięci eliminuje większość błędów znaku.
• Jeśli a = 0, to w ogóle nie jest równanie kwadratowe, tylko liniowe bx + c = 0 z jednym rozwiązaniem x = −c/b. Kalkulator dzielący po cichu przez 2a wykonałby dzielenie przez zero.
• Rozkład na czynniki jest szybszy przy pierwiastkach wymiernych, ale tylko wzór działa zawsze. Gdy wyróżnik nie jest kwadratem liczby całkowitej, rozkład w liczbach całkowitych jest niemożliwy i zostaje wzór.

Częste pytania

Co oznacza ujemny wyróżnik?

Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych — parabola leży w całości nad osią x albo pod nią. Nadal istnieją dwa pierwiastki zespolone z √−1, ważne w technice i fizyce, ale nie w większości codziennych zadań.

Dlaczego wierzchołek leży w −b/2a?

Oba pierwiastki są symetryczne względem tego punktu, bo wzór dodaje i odejmuje ten sam pierwiastek kwadratowy od −b/2a. Nawet gdy nie ma pierwiastków rzeczywistych, parabola i tak tam się zawraca — tak znajduje się maksimum lub minimum bez rachunku różniczkowego.