Bruchrechner

Bruchrechnen: eine Regel fürs Addieren, eine andere fürs Multiplizieren

Brüche zu multiplizieren ist der einfache Fall — oben mal oben, unten mal unten, fertig. Das Addieren ist das, woran es scheitert, denn die Zähler lassen sich erst addieren, wenn die Nenner übereinstimmen. Dieser Rechner beherrscht beides, kürzt das Ergebnis und zeigt es als gemischte Zahl und als Dezimalzahl.

So wird gerechnet

• Addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert zwei Brüche und gibt das Ergebnis vollständig gekürzt aus.
• Zeigt dasselbe Ergebnis dreifach: als Bruch, als gemischte Zahl und als Dezimalzahl.
• Wandelt eine Dezimalzahl zurück in den einfachsten Bruch, der sie darstellt.

a/b + c/d = (ad + cb) / bd
a/b - c/d = (ad - cb) / bd
a/b x c/d = ac / bd
a/b / c/d = ad / bc      (mit dem Kehrwert multiplizieren)

dann beide Teile durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividieren

Rechenbeispiel

1/2 und 1/3 addieren und anschließend kürzen.

1. gemeinsamer Nenner 2 x 3 = 6
2. erster Bruch 1/2 = 3/6
3. zweiter Bruch 1/3 = 2/6
4. Zähler addieren 3 + 2 = 5
5. Ergebnis 5/6
6. ggT(5, 6) = 1 bereits gekürzt

Fünf Sechstel. Beachten Sie: Die intuitive falsche Antwort — Zähler und Nenner addieren, also 2/5 — ist kleiner als beide Ausgangsbrüche, was den Fehler auffallen lässt, ohne die Rechnung zu wiederholen.

Das Ergebnis lesen

• Durch einen Bruch teilen heißt mit seinem Kehrwert multiplizieren — deshalb wird eine Zahl größer, wenn man sie durch 1/2 teilt. „Wie viele Hälften passen hinein?“ ist die Frage, die Division tatsächlich stellt, und die Antwort ist doppelt so groß wie die Zahl der Ganzen.
• Kürzen heißt, beide Teile durch ihren größten gemeinsamen Teiler zu dividieren. Es ändert die Schreibweise, nie den Wert — 6/8 und 3/4 sind dieselbe Zahl, nur eine davon schreibt man auf.
• Dezimal zu Bruch nutzt eine Kettenbruchentwicklung statt Multiplikation mit einer Zehnerpotenz. 0,333333333 ergibt 1/3 und nicht 333333333/1000000000, weil der kleinste Nenner innerhalb der Toleranz fast immer das ist, was gemeint war.

Häufige Fragen

Warum braucht Addition einen gemeinsamen Nenner und Multiplikation nicht?

Weil ein Bruch eine Anzahl von Teilen ist und sich nur Anzahlen gleich großer Teile addieren lassen. Zwei Drittel plus ein Viertel sind von nichts drei, solange nicht beides in Zwölfteln steht. Multiplikation stellt eine andere Frage — ein Bruch von einem Bruch — und das Skalieren beider Dimensionen braucht keine gemeinsame Einheit.

Wozu eine gemischte Zahl?

Zur Lesbarkeit. 7/3 und 2 1/3 sind derselbe Wert, doch die gemischte Form sagt sofort, dass es etwas über zwei ist. Mit unechten Brüchen rechnet es sich leichter, deshalb zeigt das Werkzeug beides.