Prozent-Rechner

20% hoch, dann 20% runter — und es fehlen 4%

Prozentrechnung ist die Arithmetik, bei der man sich am sichersten ist und am häufigsten irrt, denn Prozentsätze verändern still, wovon sie ein Prozentsatz sind. Ein Anstieg um 20% mit anschließendem Rückgang um 20% führt nicht zum Ausgangspunkt zurück — es fehlen 4%, und die zweiten 20% sind schlicht ein Anteil einer größeren Zahl als die ersten.

So wird gerechnet

• Berechnet X% einer Zahl, welchen Prozentsatz eine Zahl von einer anderen ausmacht und die prozentuale Veränderung zwischen zwei Werten.
• Hält die Grundgröße ausdrücklich fest — dort beginnt nahezu jeder Prozentfehler.
• Behandelt aufeinanderfolgende Änderungen korrekt, indem es sie multipliziert statt addiert.

X% von Y = Y × X ÷ 100

A als Prozentsatz von B = A ÷ B × 100

prozentuale Änderung = (neu − alt) ÷ alt × 100

aufeinanderfolgende Änderungen multiplizieren sich: (1 + a) × (1 + b), niemals addieren

Rechenbeispiel

Derselbe Prozentsatz hoch und runter, und der Gewinn, der einen Verlust ausgleicht.

1. 100 um 20% hoch → 120, dann um 20% runter → 96
2. es fehlen 4%, genau 20% zum Quadrat
3. 50% hoch, dann 50% runter → 75, es fehlen 25%
4. um −20% auszugleichen, braucht es +25%, nicht +20%

Gleiche Prozentsätze hoch und runter heben sich nie auf, und die Lücke wächst mit dem Quadrat des Prozentsatzes: bei 10% fehlt 1%, bei 30% fehlen 9%, bei 50% fehlen 25%.

Das Ergebnis lesen

• Einen Verlust auszugleichen erfordert stets einen größeren Prozentsatz als der Verlust selbst, denn der Gewinn misst sich am verringerten Betrag. Minus 50% braucht +100% zurück; minus 80% braucht +400%. Deshalb ist ein großer Einbruch weit schlimmer, als er aussieht.
• Die Reihenfolge ändert nichts. 20% runter und dann 20% hoch ergibt ebenfalls 96, weil Multiplikation kommutativ ist — die Abfolge von Anstieg und Rückgang erklärt die Lücke also nie, nur die verschobene Grundgröße tut es.
• Prozent und Prozentpunkte sind verschiedene Größen und werden ständig verwechselt. Ein Satz, der von 4% auf 5% steigt, ist um einen Prozentpunkt gestiegen und zugleich um 25% relativ, und beide Zahlen beschreiben dieselbe Änderung korrekt.
• X% von Y ist immer gleich Y% von X, was gelegentlich eine nützliche Abkürzung ist. 18% von 50 rechnet sich unhandlich; 50% von 18 sind 9, und es ist dieselbe Zahl.
• Gestapelte Rabatte addieren sich nicht. 30% Nachlass und danach weitere 20% ergeben insgesamt 44%, nicht 50%, weil der zweite Nachlass auf den bereits gesenkten Preis wirkt.

Häufige Fragen

Warum gleicht ein Anstieg von 20% einen Rückgang von 20% nicht aus?

Weil beide Prozentsätze von unterschiedlichen Grundgrößen genommen werden. 20% Anstieg von 100 ergibt 120; 20% Rückgang von 120 nimmt 24 weg, nicht 20, und lässt 96 übrig. Es fehlen 4%, also 20% von 20%.

Was ist der Unterschied zwischen Prozent und Prozentpunkten?

Prozentpunkte messen den arithmetischen Abstand zwischen zwei Prozentsätzen; Prozent misst die relative Änderung. Von 4% auf 5% ist zugleich ein Anstieg um einen Prozentpunkt und ein Anstieg um 25%.

Wie viel muss ich gewinnen, um einen Verlust auszugleichen?

Immer mehr, als verloren ging. Nach 20% Verlust braucht es 25%; nach 30% braucht es 42,9%; nach 50% braucht es 100%. Die Formel lautet 1 ÷ (1 − Verlust) − 1.