Puis-je trouver l'aire à partir du seul périmètre ?

Non, et c'est tout le propos ici. Un périmètre de 12 admet des aires allant de 6,928 jusqu'à aussi près de zéro qu'on veut. Il vous faut les trois côtés séparément, ou une base et une hauteur.

Pourquoi mon calcul échoue-t-il pour 3, 4 et 8 ?

Parce que ces longueurs ne se referment pas en triangle. Deux côtés doivent toujours dépasser le troisième, et 3 + 4 = 7 est inférieur à 8. Disposés physiquement, les côtés courts ne se rejoignent pas, et la formule de Héron le signale par un négatif sous la racine.

Calculateur de Triangle

Triangle

Calculez l'aire d'un triangle.

Guide du triangle

Le triangle est l'un des polygones fondamentaux de la géométrie, défini par trois côtés et trois angles intérieurs.La somme des angles intérieurs d'un triangle vaut toujours 180 degrés. On peut classer les triangles de différentes façons : selon la longueur des côtés (équilatéral, isocèle, scalène) ou selon la mesure des angles (acutangle, rectangle, obtusangle).

L'aire d'un triangle s'obtient en multipliant la base par la hauteur et en divisant par deux.La formule A = (a × h) / 2 est la plus utilisée en pratique.La hauteur est la distance du sommet opposé à la base, mesurée perpendiculairement à celle-ci.Dans un triangle équilatéral, tous les côtés sont égaux et la hauteur se calcule par h = (a√3) / 2.

The Pythagorean theorem applies to right triangles.Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés de l'angle droit égale le carré de l'hypoténuse : a² + b² = c².C'est l'un des théorèmes les plus importants de la géométrie, utilisé dans la construction, la navigation,la physique et bien d'autres domaines. Les côtés de l'angle droit sont ceux qui lui sont adjacents,et l'hypoténuse est le plus long côté, opposé à l'angle droit.

Types of triangles. An equilateral triangle has three equal sides and three 60-degree angles.Un triangle isocèle a deux côtés égaux et deux angles égaux à la base de ces côtés.Un triangle scalène a tous ses côtés de longueurs différentes.Un triangle acutangle a tous ses angles inférieurs à 90 degrés,un triangle rectangle a un angle égal à 90 degrés,et un triangle obtusangle a un angle supérieur à 90 degrés.

Les mêmes 12 cm de périmètre peuvent enfermer 6,93 cm² ou 0,59 cm²

Le périmètre ne détermine pas l'aire. Trois côtés totalisant 12 peuvent enfermer près de sept centimètres carrés ou presque rien, selon la seule régularité du partage de la longueur. Le triangle équilatéral est le maximum, et chaque écart coûte de l'aire : d'abord vite, puis brutalement.

Comment ça marche

Trouve l'aire à partir de trois côtés avec la formule de Héron, sans avoir besoin d'une hauteur.
Vérifie d'abord l'inégalité triangulaire, car trois longueurs quelconques ne forment souvent aucun triangle.
Traite aussi le cas base et hauteur, plus commode quand on en dispose.

Héron :  s = (a + b + c) ÷ 2
         aire = √(s(s−a)(s−b)(s−c))

base et hauteur :  aire = ½ × base × hauteur

inégalité triangulaire : chaque côté doit être plus court que la somme des deux autres
sinon aucun triangle n'existe et Héron renvoie un négatif sous la racine

Exemple chiffré

Cinq triangles, tous de périmètre exactement 12.

4, 4, 4 → aire 6,928 (équilatéral, le maximum)
3, 4, 5 → aire 6,000 (rectangle)
5, 5, 2 → aire 4,899
5,5, 5,5, 1 → aire 2,739
5,9, 5,9, 0,2 → aire 0,590

Périmètre identique d'un bout à l'autre, et l'aire chute de plus de 90% du premier au dernier. Quand un côté tend vers zéro, le triangle s'aplatit en segment et l'aire enfermée disparaît avec lui.

Lire le résultat

Que le cas équilatéral soit le maximum est un résultat général, pas une coïncidence de ces nombres. À périmètre fixé, le partage le plus régulier de la longueur enferme la plus grande aire — le principe même qui fait du cercle la meilleure forme possible.
La formule de Héron mérite d'être connue car elle ne demande ni angle ni hauteur. Trois relevés au mètre ruban suffisent, d'où sa survie en topographie et sur les chantiers, où mesurer une hauteur perpendiculaire est malcommode.
L'inégalité triangulaire est une vraie contrainte, pas une formalité. Des côtés de 3, 4 et 8 ne forment pas de triangle car 3 + 4 est inférieur à 8, et Héron le signale par un négatif sous la racine.
Les triangles quasi dégénérés sont numériquement instables. Quand un côté approche la somme des deux autres, de petites erreurs de mesure font varier fortement l'aire calculée : traitez donc l'aire d'un triangle très mince comme approximative, quel que soit le nombre de décimales affichées.

Questions fréquentes

Puis-je trouver l'aire à partir du seul périmètre ?: Non, et c'est tout le propos ici. Un périmètre de 12 admet des aires allant de 6,928 jusqu'à aussi près de zéro qu'on veut. Il vous faut les trois côtés séparément, ou une base et une hauteur.
Pourquoi mon calcul échoue-t-il pour 3, 4 et 8 ?: Parce que ces longueurs ne se referment pas en triangle. Deux côtés doivent toujours dépasser le troisième, et 3 + 4 = 7 est inférieur à 8. Disposés physiquement, les côtés courts ne se rejoignent pas, et la formule de Héron le signale par un négatif sous la racine.