Quadrat
Berechnen Sie Fläche, Umfang und Diagonale eines Quadrats.
Leitfaden zum Quadrat
Ein Quadrat ist ein Sonderfall des Rechtecks, bei dem alle Seiten gleich lang sind.Es ist eines von zwei regelmäßigen Vielecken, die sich einem Kreis einbeschreiben lassen (neben dem gleichseitigen Dreieck). Alle Winkel im Quadrat sind rechte Winkel (90 Grad), die Diagonalen sind gleich lang und schneiden sich rechtwinklig. Ein Quadrat hat 4 Symmetrieachsen und ist punktsymmetrisch zu seinem Mittelpunkt.
Die Fläche eines Quadrats berechnet man, indem man die Seitenlänge quadriert.Hat die Seite die Länge a, beträgt die Fläche A = a².Ein Quadrat mit einer Seite von 6 Einheiten hat beispielsweise eine Fläche von 6² = 36 Quadrateinheiten.Die Formel ist einfach und einleuchtend und gehört damit zu den am leichtesten zu merkenden der Geometrie.
Der Umfang eines Quadrats ist das Vierfache der Seitenlänge.The formula is P = 4a.Bei einer Seite von 6 Einheiten beträgt der Umfang 4 × 6 = 24 Einheiten.Der Umfang ist besonders nützlich beim Entwurf von Zäunen, Rahmen und anderen Elementen mit gleichmäßiger Einfassung.
The diagonal of a square is longer than the side and equals a√2.Das folgt aus dem Satz des Pythagoras, angewandt auf das rechtwinklige Dreieck aus zwei Seiten und der Diagonale.Für ein Quadrat mit der Seite 6 hat die Diagonale die Länge 6√2 ≈ 8,49 Einheiten.Die Diagonale entspricht der Seite mal der Quadratwurzel aus zwei – ein für alle Quadrate konstanter Faktor.
Practical applications.Das Quadrat wird überall dort verwendet, wo maximale Fläche bei minimalem Umfang gefragt ist. In der Architektur sind quadratische Stützen und Pfeiler konstruktiv am effizientesten. Bei Brettspielen und Puzzles lassen sich quadratische Teile leichter anordnen und berechnen als andere Formen. In der Mathematik ist das Quadrat Grundlage vieler Begriffe wie Quadratwurzel und Potenzierung.
Die Ergebnisse dienen zur Information. Überprüfen Sie sie anhand anderer Quellen.
Zehn Meter im Quadrat ist zehnmal größer als zehn Quadratmeter
Zwei Formulierungen, die sich nur in der Wortstellung unterscheiden und Flächen im Verhältnis zehn zu eins beschreiben. Zehn Meter im Quadrat meint ein Quadrat mit zehn Metern Seitenlänge — 100 m². Zehn Quadratmeter sind 10 m², ein Quadrat von knapp über drei Metern Seite. Handwerk, Vermietung und Anzeigen verwenden beides, und angeboten wird fast immer das kleinere.
So wird gerechnet
- Findet Fläche, Umfang und Diagonale eines Quadrats aus jeder einzelnen dieser Größen.
- Rechnet von einer Fläche zurück auf die Seitenlänge — die nützliche Richtung beim Planen eines Raums.
- Hält die Unterscheidung zwischen einer quadrierten Länge und einer Fläche ausdrücklich fest.
Fläche = Seite² Seite = √Fläche Umfang = 4 × Seite Diagonale = Seite × √2 = Seite × 1,414214 'n Meter im Quadrat' = n × n = n² m² 'n Quadratmeter' = n m²
Rechenbeispiel
Dieselbe Zahl in beiden Lesarten und was das Verdoppeln der Seite bewirkt.
- zehn Meter im Quadrat → 100 m²
- zehn Quadratmeter → 10 m², ein Quadrat von 3,16 m Seite
- Seite 2 m → Fläche 4 m²
- Seite 4 m → Fläche 16 m²
- Seite 8 m → Fläche 64 m²
Die Seite zu verdoppeln vervierfacht die Fläche, die beiden Lesarten laufen also schnell auseinander: bei zwanzig beträgt der Abstand 400 m² gegen 20 m². Jede genannte Fläche, für die Geld fließt, ist es wert nachzufragen, welche Formulierung gemeint war.
Das Ergebnis lesen
- Die Diagonale ist stets die Seite mal √2, und sie entscheidet, ob Möbel passen. Ein quadratischer Tisch von 1,00 m braucht eine Öffnung von 1,414 m, um übereck zu passieren, und eine Tür von 0,80 m lässt flach getragen ein Quadrat von höchstens 0,566 m Seite durch.
- Die Fläche je Meter Zaun verbessert sich, je größer das Quadrat wird. Ein Quadrat von 1 m Seite ergibt 0,25 m² je Meter Zaun, eines von 5 m ergibt 1,25 und eines von 10 m ergibt 2,50 — eine große Einfriedung ist weit billiger zu zäunen als mehrere kleine gleicher Gesamtfläche.
- In der Gegenrichtung versagt die Intuition. Die Fläche eines Raums zu halbieren halbiert nicht seine Seite: aus 100 m² werden 50 m² bei 7,07 m Seite und nicht bei 5 m, denn die Seite skaliert mit der Quadratwurzel.
- Das Quadrat ist das Rechteck, das bei gegebenem Umfang die größte Fläche einschließt — deshalb taucht es überall dort auf, wo Materialkosten dem Rand folgen und der Wert dem Inneren.
Häufige Fragen
- Ist 'zehn Meter im Quadrat' dasselbe wie 'zehn Quadratmeter'?
- Nein — es ist zehnmal größer. Zehn Meter im Quadrat ist ein Quadrat mit zehn Metern Seitenlänge, also 100 m². Zehn Quadratmeter sind eine Fläche von 10 m², ein Quadrat von etwa 3,16 m Seite. Wo es zählt, fragen Sie nach den Maßen statt nach der Formulierung.
- Wenn ich die Seite verdopple, wie viel größer wird das Quadrat?
- Viermal, nicht zweimal. Die Fläche geht mit dem Quadrat der Seite, Verdoppeln ergibt also die vierfache und Verdreifachen die neunfache Fläche. Dieselbe Beziehung rückwärts erklärt, warum das Halbieren einer Fläche die Seite nur um rund 29% verkürzt.