Oblicz średnią arytmetyczną, wartość środkową (medianę) i wartość najczęstszą (dominantę).
Wprowadź dane, aby zobaczyć wynik.
Średnia: suma wszystkich wartości / liczba elementów
Mediana: środkowa wartość posortowanych danych
Dominanta: najczęściej występująca wartość
Przewodnik: średnia, mediana i dominanta
Średnia arytmetyczna to najczęściej stosowana miara tendencji centralnej, obliczana przez zsumowanie wszystkich wartości i podzielenie przez ich liczbę. Najlepiej sprawdza się dla danych o rozkładzie symetrycznym, bez skrajnych wartości odstających. Gdy dane skupiają się wokół średniej, daje pełny obraz wartości typowej.
Mediana to wartość dzieląca zbiór danych na dwie równe części – połowa wartości jest mniejsza, połowa większa od mediany. Jest odporna na wartości odstające, więc idealna dla danych ze skrajnymi wynikami lub rozkładów skośnych. Często stosuje się ją przy dochodach, cenach nieruchomości i innych danych ekonomicznych.
Dominanta to najczęściej występująca wartość w zbiorze. Przydaje się przy identyfikacji najpopularniejszej kategorii lub opcji. Gdy wszystkie wartości są unikalne, dominanta nie istnieje – taki rozkład nazywamy amodalnym.
Kiedy którego użyć: Średniej używaj dla danych symetrycznych, bez wartości odstających. Mediany – dla danych skośnych lub ze skrajnymi wartościami. Dominanty – dla danych kategorialnych albo gdy chcesz poznać najczęstszą odpowiedź.
Jedna wartość odstająca przesuwa średnią o 44,6, a medianę dokładnie o zero
Dziesięć wynagrodzeń o średniej 40 ma medianę 39 — obie wielkości są sobie bliskie, jak przy większości grzecznych danych. Zastąp najlepiej zarabiającego kwotą 500, a średnia skacze do 84,6, podczas gdy mediana w ogóle się nie rusza. Średnia jest teraz wyższa niż u dziewięciu z dziesięciu osób, które opisuje, a to moment, w którym przestaje cokolwiek opisywać.
Jak to działa
- Wylicza średnią, medianę, dominantę i rozstęp zbioru wartości.
- Pokazuje wszystkie trzy razem, bo to właśnie różnica między nimi mówi o kształcie danych.
- Obsługuje wiele dominant oraz zbiory o parzystej liczebności, gdzie mediana to środek pary środkowej.
średnia = suma ÷ liczebność rusza się z każdą wartością mediana = wartość środkowa po posortowaniu rusza się tylko ze środkiem dominanta = wartość najczęstsza może nie istnieć albo być kilka średnia znacznie powyżej mediany → długi ogon w prawo średnia ≈ mediana → rozkład mniej więcej symetryczny
Przykład z liczbami
Dziesięć wynagrodzeń, a potem te same dziesięć z jednym zmienionym.
- 30, 32, 35, 36, 38, 40, 42, 45, 48, 54
- średnia 40,0, mediana 39,0 — blisko siebie
- zastąp 54 kwotą 500
- średnia 84,6, mediana 39,0
- 9 z 10 wartości leży teraz poniżej średniej
Średnia przesunęła się o 44,6, a mediana o 0,0. Podanie samej średniej opisywałoby tę grupę jako zarabiającą 84,6, podczas gdy dziewięć osób zarabia mniej niż połowę tego. Mediana nie jest ogólnie bardziej poprawna — jest bardziej odporna, a to inna własność i akurat ta, która tu waży.
Jak czytać wynik
- Dochody, ceny mieszkań, czasy oczekiwania i rozmiary plików mają długie prawe ogony, więc średnia z reguły leży powyżej mediany. Dlatego statystyki krajowe podają medianę dochodu gospodarstwa: średnia odpowiada na pytanie, którego prawie nikt nie zadaje.
- Średnia wciąż jest właściwym wyborem, gdy każda wartość ma liczyć się tak samo — przy sumach, budżetach, przy wszystkim, co potem pomnożysz z powrotem przez liczebność. Mediany używaj, gdy chcesz przypadku typowego, a ogon nie jest sednem.
- Dominanta jako jedyna działa na kategoriach, a nie na liczbach. Jest też najmniej stabilna: zbiór może nie mieć dominanty, mieć jedną albo kilka, a dodanie jednej obserwacji potrafi całkowicie zmienić odpowiedź.
- Gdy średnia i mediana ostro się różnią, ta różnica sama w sobie jest wnioskiem. Podawaj obie zamiast wybierać, bo rozbieżność mówi czytelnikowi, że rozkład jest skośny i jedna liczba go nie odda.
Częste pytania
- Której średniej używać?
- Najpierw je porównaj. Jeśli średnia i mediana są blisko, każda się nada. Jeśli się rozjeżdżają, dane mają ogon, a mediana opisuje przypadek typowy, podczas gdy średnia opisuje sumę rozdzieloną po równo. Żadna nie jest błędna; odpowiadają na różne pytania.
- Dlaczego średnia płaca jest wyższa niż to, co zarabia większość?
- Bo niewielka liczba bardzo wysoko zarabiających ciągnie średnią w górę, nie ruszając mediany. W powyższym przykładzie średnia przewyższa zarobki dziewięciu z dziesięciu osób — jest poprawną arytmetyką i wciąż kiepskim opisem grupy.