Oblicz średnią, wariancję i odchylenie standardowe dla zbioru danych.
Wprowadź dane, aby zobaczyć wynik.
Przewodnik: odchylenie standardowe i wariancja
Wariancja mierzy, jak bardzo dane są rozproszone wokół średniej. Oblicza się ją jako średnią kwadratów odchyleń od średniej. Większa wariancja oznacza bardziej rozproszone dane. To podstawowa miara rozproszenia w statystyce.
Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy z wariancji. Wyraża się je w tych samych jednostkach co dane oryginalne, co ułatwia interpretację. Na przykład jeśli średnia sprzedaż wynosi 1000 przy odchyleniu standardowym 200, typowe wartości mieszczą się zwykle w przedziale 800-1200.
Populacja a próba: Wariancja populacji dzieli przez N i stosuje się do całej populacji. Wariancja próby dzieli przez N-1 i jest lepszym oszacowaniem dla większej populacji na podstawie próby. To poprawka Bessela, która usuwa obciążenie oszacowania.
Interpretacja: Małe odchylenie standardowe oznacza, że dane skupiają się wokół średniej. Duże oznacza szeroki rozrzut wartości. Reguła 68-95-99,7 mówi, że około 68% danych mieści się w granicach jednego odchylenia standardowego, 95% – dwóch, a 99,7% – trzech.
Dwa zbiory o tej samej średniej 50 różnią się rozrzutem dwudziestokrotnie
Średnia mówi, gdzie jest środek, i nic o tym, jak daleko cokolwiek od niego leży. Zbiór 48, 49, 50, 51, 52 i zbiór 10, 30, 50, 70, 90 mają dokładnie tę samą średnią 50, a mimo to odchylenie standardowe wynosi w pierwszym 1,58, a w drugim 31,62. Podanie samej średniej wyrzuca całą różnicę między nimi.
Jak to działa
- Wylicza odchylenie standardowe i wariancję zbioru wartości.
- Używa wzoru dla próby, dzieląc przez n − 1, i wyjaśnia, kiedy właściwy jest wzór populacyjny.
- Pokazuje, jaka część danych mieści się w jednym, dwóch i trzech odchyleniach od średniej.
próba: s = √( Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) ) populacja: σ = √( Σ(x − µ)² ÷ n ) wariancja to to samo przed spierwiastkowaniem dla danych w przybliżeniu normalnych: 68% w granicach 1 SD, 95% w granicach 2 SD, 99,7% w granicach 3 SD
Przykład z liczbami
Dwa pięcioelementowe zbiory o identycznych średnich.
- A = 48, 49, 50, 51, 52 → średnia 50,0, SD 1,58
- B = 10, 30, 50, 70, 90 → średnia 50,0, SD 31,62
- rozrzut różni się dwudziestokrotnie
- przy średniej 50 i SD 10 około 68% wartości mieści się między 40 a 60
- a około 95% między 30 a 70
Oba zbiory raportują średnią 50 i opisują zupełnie różne sytuacje. A to proces stabilny; B ledwie jest procesem. Każde podsumowanie podające samą średnią całkowicie to ukrywa.
Jak czytać wynik
- Dziel przez n − 1 dla próby, a przez n dla całej populacji. Poprawka waży najwięcej przy małym n: przy pięciu wartościach dzielenie przez n zaniża odchylenie o 10,56%, podczas gdy przy n = 100 błąd wynosi 0,50% i praktycznie nie ma znaczenia.
- Dla zbioru A wzór populacyjny daje 1,414, a wzór dla próby 1,581. Żaden nie jest błędny — odpowiadają na różne pytania, a wersja dla próby jest tą uczciwą, gdy twoje pięć wartości pochodzi z czegoś większego.
- Reguła 68–95–99,7 zakłada rozkład w przybliżeniu normalny. Zastosowana do danych skośnych — dochodów, czasów oczekiwania, rozmiarów plików — poważnie zafałszuje, ile mieści się w każdym przedziale, a takie rozkłady są wyjątkowo częste.
- Odchylenie standardowe ma te same jednostki co dane i dlatego podaje się je zamiast wariancji. Wariancja jest w jednostkach kwadratowych, więc rozrzut 31,62 staje się wariancją 1000 — liczbą bez fizycznego sensu.
Częste pytania
- Dlaczego dzielić przez n − 1, a nie przez n?
- Bo własna średnia próby leży bliżej jej wartości niż prawdziwa średnia populacji, przez co odchylenia wyglądają na mniejsze, niż są. Dzielenie przez n − 1 koryguje to obciążenie. Przy pięciu wartościach podnosi wynik o 10,56%, przy stu o pół procenta.
- Czy wysokie odchylenie standardowe jest złe?
- Tylko względem tego, czego oczekujesz. Duży rozrzut w tolerancji produkcyjnej to wada; duży rozrzut w portfelu stóp zwrotu bywa ceną tych stóp. Liczba opisuje powtarzalność, a to, czy powtarzalność jest pożądana, zależy wyłącznie od mierzonej rzeczy.