Warum durch n − 1 teilen und nicht durch n?

Weil der eigene Mittelwert einer Stichprobe näher an ihren Werten liegt als der wahre Populationsmittelwert, wodurch die Abweichungen kleiner erscheinen, als sie sind. Das Teilen durch n − 1 korrigiert diese Verzerrung. Bei fünf Werten hebt es das Ergebnis um 10,56%, bei hundert um ein halbes Prozent.

Ist eine hohe Standardabweichung schlecht?

Nur relativ zur Erwartung. Hohe Streuung in einer Fertigungstoleranz ist ein Mangel; hohe Streuung in einem Renditeportfolio kann der Preis der Renditen sein. Die Zahl beschreibt Gleichmäßigkeit, und ob Gleichmäßigkeit erwünscht ist, hängt ganz von der gemessenen Sache ab.

Standardabweichung Rechner

Berechnen Sie Mittelwert, Varianz und Standardabweichung eines Datensatzes.

Werte eingeben, um das Ergebnis zu sehen.

Die Populationsvarianz teilt durch N, die Stichprobenvarianz durch N−1

Leitfaden: Standardabweichung und Varianz

Varianz misst, wie stark die Daten um den Mittelwert streuen. Sie wird als Mittel der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert berechnet. Eine größere Varianz bedeutet stärker gestreute Daten. Sie ist ein grundlegendes Streuungsmaß der Statistik.

Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Sie wird in denselben Einheiten wie die Ausgangsdaten angegeben, was die Deutung erleichtert. Liegt der durchschnittliche Umsatz beispielsweise bei 1000 mit einer Standardabweichung von 200, bewegen sich typische Werte meist zwischen 800 und 1200.

Population vs. Stichprobe: Die Populationsvarianz teilt durch N und gilt für die gesamte Grundgesamtheit. Die Stichprobenvarianz teilt durch N-1 und ist die bessere Schätzung für eine größere Grundgesamtheit auf Basis einer Stichprobe. Das ist die Bessel-Korrektur, die die Verzerrung der Schätzung beseitigt.

Interpretation: Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass sich die Daten um den Mittelwert gruppieren. Eine große steht für eine breite Streuung der Werte. Die 68-95-99,7-Regel besagt, dass rund 68 % der Daten innerhalb einer Standardabweichung liegen, 95 % innerhalb von zwei und 99,7 % innerhalb von drei.

Zwei Datensätze mit demselben Mittelwert 50 unterscheiden sich in der Streuung um das Zwanzigfache

Der Mittelwert sagt, wo die Mitte liegt, und nichts darüber, wie weit irgendetwas davon entfernt ist. Die Menge 48, 49, 50, 51, 52 und die Menge 10, 30, 50, 70, 90 haben beide exakt den Mittelwert 50, doch die eine hat eine Standardabweichung von 1,58 und die andere von 31,62. Nur den Durchschnitt zu berichten verwirft den gesamten Unterschied.

So wird gerechnet

Berechnet Standardabweichung und Varianz einer Wertemenge.
Nutzt die Stichprobenformel mit n − 1 und erklärt, wann stattdessen die Populationsformel richtig ist.
Zeigt, wie viel der Daten innerhalb einer, zweier und dreier Abweichungen vom Mittelwert liegt.

Stichprobe:  s = √( Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) )
Population:  σ = √( Σ(x − µ)² ÷ n )

die Varianz ist dasselbe vor dem Wurzelziehen

für annähernd normale Daten:
  68% innerhalb 1 SD, 95% innerhalb 2 SD, 99,7% innerhalb 3 SD

Rechenbeispiel

Zwei Fünf-Werte-Mengen mit identischen Mittelwerten.

A = 48, 49, 50, 51, 52 → Mittelwert 50,0, SD 1,58
B = 10, 30, 50, 70, 90 → Mittelwert 50,0, SD 31,62
die Streuung unterscheidet sich um den Faktor 20
bei Mittelwert 50 und SD 10 liegen rund 68% der Werte zwischen 40 und 60
und rund 95% zwischen 30 und 70

Beide Mengen melden einen Durchschnitt von 50 und beschreiben völlig verschiedene Lagen. A ist ein stabiler Prozess, B kaum ein Prozess. Jede Zusammenfassung, die nur den Mittelwert nennt, verbirgt das vollständig.

Das Ergebnis lesen

Teilen Sie für eine Stichprobe durch n − 1 und für eine Gesamtpopulation durch n. Die Korrektur zählt am meisten bei kleinem n: bei fünf Werten unterschätzt das Teilen durch n die Abweichung um 10,56%, bei n = 100 beträgt der Fehler 0,50% und ist praktisch bedeutungslos.
Für Menge A liefert die Populationsformel 1,414 und die Stichprobenformel 1,581. Keine ist falsch — sie beantworten verschiedene Fragen, und die Stichprobenvariante ist die ehrliche, wenn Ihre fünf Werte aus etwas Größerem stammen.
Die 68–95–99,7-Regel setzt eine annähernd normale Verteilung voraus. Auf schiefe Daten angewandt — Einkommen, Wartezeiten, Dateigrößen — verfehlt sie deutlich, wie viel in jedem Band liegt, und solche Verteilungen sind ausgesprochen häufig.
Die Standardabweichung trägt die Einheiten der Daten, weshalb sie statt der Varianz angegeben wird. Die Varianz steht in quadrierten Einheiten, eine Streuung von 31,62 wird also zu einer Varianz von 1.000 — einer Zahl ohne physikalische Bedeutung.

Häufige Fragen

Warum durch n − 1 teilen und nicht durch n?: Weil der eigene Mittelwert einer Stichprobe näher an ihren Werten liegt als der wahre Populationsmittelwert, wodurch die Abweichungen kleiner erscheinen, als sie sind. Das Teilen durch n − 1 korrigiert diese Verzerrung. Bei fünf Werten hebt es das Ergebnis um 10,56%, bei hundert um ein halbes Prozent.
Ist eine hohe Standardabweichung schlecht?: Nur relativ zur Erwartung. Hohe Streuung in einer Fertigungstoleranz ist ein Mangel; hohe Streuung in einem Renditeportfolio kann der Preis der Renditen sein. Die Zahl beschreibt Gleichmäßigkeit, und ob Gleichmäßigkeit erwünscht ist, hängt ganz von der gemessenen Sache ab.