Warum wirken 23 viel zu wenig?

Weil die Intuition Personen zählt und das Problem Paare. Jede neue Person wird mit allen bereits Anwesenden verglichen, die Paare wachsen also etwa mit dem Quadrat der Kopfzahl: 23 Personen ergeben 253 Vergleiche, und die Hälfte dieser Chancen genügt, um ausgeglichene Chancen zu überschreiten.

Wie viele Personen, bis jemand genau meinen Geburtstag hat?

Rund 253 weitere für eine Chance von 50%. Das ist eine völlig andere Frage als die klassische, und der Abstand zwischen 23 und 253 ist der ganze Punkt: irgendein Paar zu treffen ist leicht, ein festes Datum zu treffen nicht.

Wahrscheinlichkeitsrechner

Berechnen Sie die einfache Wahrscheinlichkeit aus günstigen und möglichen Ergebnissen.

Berechnungsart

Werte eingeben, um das Ergebnis zu sehen.

P(A) = günstige / alle

P(A und B) = P(A) × P(B) (unabhängig)

P(A oder B) = P(A) + P(B) − P(A und B)

Leitfaden: Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit ist ein Maß für die Sicherheit, dass ein Ereignis eintritt, ausgedrückt als Zahl zwischen 0 und 1. P = 0 bedeutet ein unmögliches, P = 1 ein sicheres Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit, beim Münzwurf Kopf zu erhalten, beträgt beispielsweise 0,5 oder 50 %.

Grundlegende Wahrscheinlichkeit berechnet sich als Verhältnis der günstigen zu allen möglichen Ergebnissen. Bei einem sechsseitigen Würfel gilt bei 3 günstigen Ergebnissen P = 3/6 = 0,5 bzw. 50 %. Diese klassische Wahrscheinlichkeit setzt voraus, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

P(A und B) – Multiplikationsregel: For two independent events, the probability of both occurring is P(A) × P(B). For example, the probability of two heads in a row is 0.5 × 0.5 = 0.25. Events are independent if the occurrence of one does not affect the other.

P(A oder B) – Additionsregel: Für zwei Ereignisse beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines eintritt, P(A) + P(B) − P(A und B). Die Schnittmenge wird abgezogen, um Doppelzählung zu vermeiden. Bei sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen (die nicht gemeinsam eintreten können) genügt die Addition.

Anwendungen: Wahrscheinlichkeit wird in der Versicherungswirtschaft zur Risikobewertung, in der Medizin für die Wirksamkeit von Arzneimitteln, im Finanzwesen zur Bewertung von Vermögenswerten, beim Glücksspiel für Strategien und in unternehmerischen Entscheidungen eingesetzt.

23 Personen ergeben 50,7% Chance auf einen gemeinsamen Geburtstag — aber nur 5,9%, dass jemand Ihren teilt

Das Geburtstagsproblem ist der sauberste Nachweis, dass Wahrscheinlichkeit Paare zählt und nicht Personen. Unter 23 Personen gibt es 253 mögliche Paare, und es sind die Paare, die sich summieren. Fragt man stattdessen, ob jemand ein bestimmtes Datum trifft — Ihres —, fällt die Antwort auf 5,9%, denn nun gibt es nur 22 Vergleiche statt 253.

So wird gerechnet

Berechnet Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse, einschließlich der Fälle „mindestens eines“.
Behandelt das Gegenereignis, meist der einfachere Weg: 1 minus die Chance, dass nichts eintritt.
Deckt die Familie der Geburtstagsprobleme ab, wo Intuition und Arithmetik scharf auseinandergehen.

P(mindestens eines) = 1 − P(keines)

gemeinsamer Geburtstag unter n Personen:
  P = 1 − (365/365 × 364/365 × … × (365−n+1)/365)

jemand trifft ein bestimmtes Datum:
  P = 1 − (364/365)^(n−1)

Paare unter n Personen = n(n−1) ÷ 2

Rechenbeispiel

Ein sich füllender Raum, auf zwei Arten verfolgt.

10 Personen → 11,7% Chance, dass ein Paar den Geburtstag teilt
23 Personen → 50,7%
30 Personen → 70,6%
50 Personen → 97,0%
57 Personen → 99,0%

Fünfzig Prozent werden bei 23 Personen erreicht, weil 23 Personen 253 Paare bilden. Ob jemand Ihren Geburtstag teilt, ist eine andere Frage mit nur 22 Vergleichen und liegt bei 5,9% — für ausgeglichene Chancen bräuchten Sie 253 weitere Personen.

Das Ergebnis lesen

Dass die Zahl 253 auf beiden Seiten auftaucht, ist kein überzudeutender Zufall, aber eine nützliche Merkhilfe: 23 Personen bilden 253 Paare, und 253 weitere Personen sind ungefähr das, was ein bestimmtes Datum für ausgeglichene Chancen braucht.
Mit dem Gegenereignis zu rechnen ist fast immer leichter. Die Chance, dass alle 23 Geburtstage verschieden sind, ist ein einziges Produkt; die Chance auf mindestens ein Paar direkt zu berechnen hieße, sehr viele überlappende Fälle zu summieren.
Serien wirken aus demselben Grund seltener, als sie sind. Bei 100 Münzwürfen besteht eine Chance von 81,0% auf mindestens eine Serie von fünf Mal Kopf — wer eine wirklich zufällige Folge liest, schließt regelmäßig, sie müsse manipuliert sein.
Die Standardrechnung nimmt gleichmäßig verteilte Geburtstage an und ignoriert den 29. Februar. Reale Geburtsdaten häufen sich saisonal, was die wahre Wahrscheinlichkeit leicht anhebt; 50,7% ist also eher eine milde Unter- als Überschätzung.

Häufige Fragen

Warum wirken 23 viel zu wenig?: Weil die Intuition Personen zählt und das Problem Paare. Jede neue Person wird mit allen bereits Anwesenden verglichen, die Paare wachsen also etwa mit dem Quadrat der Kopfzahl: 23 Personen ergeben 253 Vergleiche, und die Hälfte dieser Chancen genügt, um ausgeglichene Chancen zu überschreiten.
Wie viele Personen, bis jemand genau meinen Geburtstag hat?: Rund 253 weitere für eine Chance von 50%. Das ist eine völlig andere Frage als die klassische, und der Abstand zwischen 23 und 253 ist der ganze Punkt: irgendein Paar zu treffen ist leicht, ein festes Datum zu treffen nicht.