Calculez la probabilité simple à partir des cas favorables et des cas possibles.
Saisissez des valeurs pour voir le résultat.
P(A) = favorables / possibles
P(A et B) = P(A) × P(B) (indépendants)
P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B)
Guide : probabilité
Probabilité est une mesure de la certitude qu'un événement se produise, exprimée par un nombre entre 0 et 1. P = 0 signifie un événement impossible, P = 1 un événement certain. Par exemple, la probabilité d'obtenir face à pile ou face est de 0,5, soit 50 %.
Probabilité de base se calcule comme le rapport des cas favorables au nombre total de cas possibles. Avec un dé à six faces, si 3 issues sont favorables, P = 3/6 = 0,5, soit 50 %. Cette probabilité classique suppose que chaque issue est également probable.
P(A et B) – règle de multiplication : For two independent events, the probability of both occurring is P(A) × P(B). For example, the probability of two heads in a row is 0.5 × 0.5 = 0.25. Events are independent if the occurrence of one does not affect the other.
P(A ou B) – règle d'addition : Pour deux événements, la probabilité qu'au moins l'un se produise vaut P(A) + P(B) − P(A et B). On retranche l'intersection pour éviter de la compter deux fois. Pour des événements mutuellement exclusifs (qui ne peuvent survenir ensemble), il suffit de les additionner.
Applications : La probabilité sert en assurance pour l'évaluation des risques, en médecine pour l'efficacité des médicaments, en finance pour la valorisation d'actifs, dans les jeux de hasard pour la stratégie, et dans la prise de décision en entreprise.
23 personnes donnent 50,7% de chances d'un anniversaire commun — mais 5,9% seulement que quelqu'un partage le vôtre
Le problème des anniversaires est la démonstration la plus nette que la probabilité compte des paires et non des personnes. Parmi 23 personnes il existe 253 paires possibles, et ce sont les paires qui s'accumulent. Demandez plutôt si quelqu'un tombe sur une date précise — la vôtre — et la réponse s'effondre à 5,9%, car il n'y a plus que 22 comparaisons au lieu de 253.
Comment ça marche
- Calcule des probabilités d'événements indépendants, y compris les cas « au moins un ».
- Traite l'événement complémentaire, généralement la voie la plus simple : 1 moins la chance que rien n'arrive.
- Couvre la famille des problèmes d'anniversaires, où intuition et arithmétique divergent nettement.
P(au moins un) = 1 − P(aucun) anniversaire commun parmi n personnes : P = 1 − (365/365 × 364/365 × … × (365−n+1)/365) quelqu'un tombant sur une date précise : P = 1 − (364/365)^(n−1) paires parmi n personnes = n(n−1) ÷ 2
Exemple chiffré
Une salle qui se remplit, suivie de deux façons.
- 10 personnes → 11,7% de chances qu'une paire partage un anniversaire
- 23 personnes → 50,7%
- 30 personnes → 70,6%
- 50 personnes → 97,0%
- 57 personnes → 99,0%
Les cinquante pour cent arrivent à 23 personnes parce que 23 personnes forment 253 paires. Savoir si quelqu'un partage votre anniversaire est une autre question, avec seulement 22 comparaisons, et elle plafonne à 5,9% — il vous faudrait 253 autres personnes pour atteindre une chance sur deux.
Lire le résultat
- Que le nombre 253 apparaisse des deux côtés n'est pas une coïncidence à surinterpréter, mais c'est un bon repère mnémotechnique : 23 personnes font 253 paires, et 253 autres personnes est à peu près ce qu'exige une date précise pour une chance sur deux.
- Passer par le complémentaire est presque toujours plus simple. Calculer la chance que les 23 anniversaires diffèrent tous est un seul produit ; calculer directement la chance qu'au moins une paire coïncide reviendrait à sommer une multitude de cas qui se recouvrent.
- Les séries paraissent plus rares qu'elles ne sont, pour la même raison. Sur 100 lancers de pièce, il y a 81,0% de chances de voir au moins une série de cinq faces — qui lit une suite véritablement aléatoire conclut couramment qu'elle est truquée.
- Le calcul standard suppose des anniversaires uniformément répartis et ignore le 29 février. Les naissances réelles se groupent par saison, ce qui relève légèrement la vraie probabilité : 50,7% est donc plutôt une légère sous-estimation qu'une surestimation.
Questions fréquentes
- Pourquoi 23 semble-t-il beaucoup trop peu ?
- Parce que l'intuition compte des personnes et que le problème compte des paires. Chaque nouvelle personne est comparée à toutes celles déjà présentes : les paires croissent donc à peu près comme le carré de l'effectif. 23 personnes produisent 253 comparaisons, et la moitié de ces chances suffit à franchir la barre.
- Combien de personnes avant que quelqu'un ait exactement mon anniversaire ?
- Environ 253 autres pour une chance sur deux. C'est une question tout à fait différente de la classique, et l'écart entre 23 et 253 est précisément le propos : trouver une paire quelconque est facile, tomber sur une date fixée ne l'est pas.