Leitfaden zum Binärsystem
Binary Number System
The binary system uses only two digits: 0 and 1. This is the basic language of computers, where 0 means no electricity (off) and 1 means electricity (on). Binary numbers are longer than decimal, but easier to implement in digital electronics. A byte is 8 bits (e.g., 10101010₂ = 170₁₀).
Umrechnung ins Binärsystem
Um dezimal in binär umzuwandeln, dividiert man durch 2 und notiert die Reste. Beispiel: 42 ÷ 2 = 21 Rest 0, 21 ÷ 2 = 10 Rest 1, 10 ÷ 2 = 5 Rest 0, 5 ÷ 2 = 2 Rest 1, 2 ÷ 2 = 1 Rest 0, 1 ÷ 2 = 0 Rest 1. Von unten gelesen: 101010₂ = 42₁₀.
Anwendungen in der Programmierung
Binär wird verwendet in Bitmasken, Dateirechten (z. B. chmod 755 = 111101101), IPv4-Adressen, RGB-Farben (Rot #FF0000 = 11111111 00000000 00000000). RAM wird bitweise adressiert. Boolesch: wahr=1, falsch=0.
IPv6 ist nicht viermal größer als IPv4. Es ist 2⁹⁶-mal größer
Bitzahlen sind Exponenten, und Exponenten schlagen die Intuition. Eine IPv6-Adresse hat viermal so viele Bits wie eine IPv4-Adresse, was nach vierfacher Kapazität klingt. Tatsächlich ist es rund 79 Quadrilliarden Mal so viel, denn jedes einzelne zusätzliche Bit verdoppelt den Bereich.
So wird gerechnet
- Rechnet zwischen Binär, Dezimal, Hexadezimal und Oktal um.
- Zeigt, wie viele verschiedene Werte eine gegebene Bitzahl darstellen kann.
- Macht die Verdopplung sichtbar — genau der Teil, der sich dem Schätzen entzieht.
Werte = 2^Bits 8 Bit → 256 ein Byte, 0–255 16 Bit → 65.536 eine Portnummer 32 Bit → 4.294.967.296 eine IPv4-Adresse 64 Bit → 1,8 × 10¹⁹ Zeitstempel in Nanosekunden ein zusätzliches Bit verdoppelt den Bereich stets
Rechenbeispiel
Adressräume vergleichen und sehen, woher die vertrauten Grenzen stammen.
- IPv4 hat 32 Bit: 2³² = 4,29 Milliarden Adressen
- IPv6 hat 128 Bit: 2¹²⁸ ≈ 3,4 × 10³⁸
- das Verhältnis ist 2¹²⁸ ÷ 2³² = 2⁹⁶
- 2⁹⁶ ≈ 7,9 × 10²⁸ — nicht 4
Viermal so viele Bits bedeuten 2⁹⁶-mal so viele Adressen. Dieselbe Arithmetik erklärt, warum 255 überall auftaucht: Acht Bit ergeben 256 Werte, nummeriert von 0 bis 255.
Das Ergebnis lesen
- Hexadezimal existiert, weil es kompaktes Binär ist. Eine Hexziffer sind genau vier Bit, zwei Hexziffern also ein Byte — deshalb schreibt man Farben als #RRGGBB und deshalb ist 0xFF gleich 255 beziehungsweise 11111111.
- Oktal sind drei Bit je Ziffer — daher kommen die Dreiergruppen der Unix-Dateirechte: 755 sind drei Gruppen aus Lese-, Schreib- und Ausführungsflag, je in eine Ziffer gepackt.
- Die IPv4-Erschöpfung war allein aus dem Exponenten vorhersehbar. 32 Bit begrenzen das Internet auf 4,29 Milliarden Adressen, gleich wie man sie vergibt, und diese Decke war Jahrzehnte vorher sichtbar.
- Vorzeichenbehaftete Ganzzahlen opfern ein Bit für das Vorzeichen und halbieren so den positiven Bereich. Ein vorzeichenbehafteter 32-Bit-Wert endet bei 2.147.483.647 statt 4.294.967.295 — Quelle sehr vieler Überlauffehler.
Häufige Fragen
- Warum fasst ein Byte 0 bis 255 und nicht 1 bis 256?
- Weil bei null gezählt wird. Acht Bit ergeben 2⁸ = 256 verschiedene Muster; das erste steht für null, also steht das letzte für 255. Die Anzahl ist 256, das Maximum 255.
- Warum Hex statt direkt Binär?
- Dichte ohne Verlust. Jede Hexziffer entspricht exakt vier Bit, ein Byte ist also immer zwei Zeichen und die Umrechnung rein mechanisch. 11111111 statt FF zu schreiben ist viermal so lang und weit leichter zu verzählen.